单样本均值置信区间¶
样本均值用 \(\hat{\mu}\) 表示，总体均值用 \(\mu\) 表示，样本方差用 \(s^2\) 表示，总体方差用 \(\sigma^2\) 表示。
z 分布¶
当总体方差 \(\sigma^2\) 已知时，可使用 z 分布构建置信区间。
\[
z = \frac{\hat{\mu} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)
\]
\[
\begin{align}
L & = \hat{\mu} - z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \\
U & = \hat{\mu} + z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\end{align}
\]
定义均值到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
\[
\begin{align}
L & = \hat{\mu} - z_{1-\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \\
U & = +\infty
\end{align}
\]
定义均值到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = z_{1-\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
\[
\begin{align}
L & = -\infty \\
U & = \hat{\mu} + z_{1-\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\end{align}
\]
定义均值到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = z_{1-\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
t 分布¶
当总体方差 \(\sigma^2\) 未知时，可使用 \(t\) 分布构建置信区间。
\[
t = \frac{\hat{\mu} - \mu}{s/\sqrt{n}} \sim t(n - 1)
\]
\[
\begin{align}
L & = \hat{\mu} - t_{1-\alpha/2,\ n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \\
U & = \hat{\mu} + t_{1-\alpha/2,\ n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}
\end{align}
\]
定义均值到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = t_{1-\alpha/2,\ n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}
\]
\[
\begin{align}
L & = \hat{\mu} - t_{1-\alpha,\ n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \\
U & = +\infty
\end{align}
\]
定义均值到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = t_{1-\alpha,\ n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}
\]
\[
\begin{align}
L & = -\infty \\
U & = \hat{\mu} + t_{1-\alpha,\ n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}
\end{align}
\]
定义均值到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = t_{1-\alpha,\ n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}
\]
给定参数求解对应标准差的技巧
以上述 t 分布双侧置信区间为例，需求解给定参数 \(n\) 和 \(d\) 下对应的标准差\(s\)。
标准差为 \(s\) 时，样本均值到置信限的距离为 \(d\)：
\[
d = t_{1-\alpha/2,\ n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}
\]
标准差为 \(s'\) 时，样本均值到置信限的距离为 \(d'\)：
\[
d' = t_{1-\alpha/2,\ n-1} \frac{s'}{\sqrt{n}}
\]
则有：
\[
\frac{d}{d'} = \frac{s}{s'} \Rightarrow s = s' \cdot \frac{d}{d'}
\]
当 \(s' = 1\) 时：
\[
s = \frac{d}{d'}
\]
因此，可以先求解标准差 \(s' = 1\) 时的 \(d'\)，再代入上述公式，即可得到标准差 \(s\)。