相关系数差异性检验¶
样本相关系数用 \(\hat{r}\) 表示，总体相关系数用 \(r\) 表示。
对于双侧检验，统计学假设如下：
\[
\begin{align}
H_0 & : r = r_0 \\
H_1 & : r \neq r_0
\end{align}
\]
对于左单侧检验，统计学假设如下：
\[
\begin{align}
H_0 & : r \geqslant r_0 \\
H_1 & : r \lt r_0
\end{align}
\]
对于右单侧检验，统计学假设如下：
\[
\begin{align}
H_0 & : r \leqslant r_0 \\
H_1 & : r \gt r_0
\end{align}
\]
以下推导过程在边界条件 \(r = r_0\) 下进行。
定义 Fisher's z 转换：
\[
z_r = \operatorname{arctanh}r = \frac{1}{2} \ln{\frac{1+r}{1-r}}
\]
在 \(H_0\) 成立时，可构建 \(z\) 统计量：
\[
z = \frac{z_{\hat{r}} - z_{r_0}}{1/\sqrt{n-3}} = (z_{\hat{r}} - z_{r_0}) \sqrt{n-3} \sim N(0, 1)
\]
在 \(H_1\) 成立时，可构建 \(z'\) 统计量：
\[
z' = \frac{z_{\hat{r}} - z_{r_0}}{1/\sqrt{n-3}} = (z_{\hat{r}} - z_{r_0}) \sqrt{n-3} \sim N\left((z_r - z_{r_0})\sqrt{n-3}, 1\right)
\]
\[
\begin{align}
\text{Power} & = P\left(z' > z_{1-\alpha/2}\right) + P\left(z' < z_{\alpha/2}\right) \\
& = 1 - \Phi\left(z_{1-\alpha/2} - (z_r - z_{r_0}) \sqrt{n-3}\right) + \Phi\left(z_{\alpha/2} - (z_r - z_{r_0}) \sqrt{n-3}\right)
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\text{Power} = P\left(z' < z_{\alpha}\right)
= \Phi\left(z_{\alpha} - (z_r - z_{r_0}) \sqrt{n-3}\right)
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\text{Power} = P\left(z' > z_{1-\alpha}\right)
= 1 - \Phi\left(z_{1-\alpha} - (z_r - z_{r_0}) \sqrt{n-3}\right)
\end{align}
\]
单侧检验样本量公式推导
根据标准正态分布分位数的定义：
\[
z_{1-\alpha} \pm (z_r - z_{r_0}) \sqrt{n-3} = z_{\beta}
\]
可解出：
\[
n = \frac{\left(z_{1-\alpha} + z_{1-\beta}\right)^2}{(z_r - z_{r_0})^2} + 3
\]
利用 Fisher's z 转换得：
\[
n = 4 \cdot \frac{\left(z_{1-\alpha} + z_{1-\beta}\right)^2}
{\ln^2\frac{(1+r)(1-r_0)}{(1-r)(1+r_0)}}
+ 3
\]
参考文献
- JH Z. Zar JH. Dichotomous variables[J]. Biostatistical Analysis 5th ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 2010: 557-558.