单样本均值非劣效检验¶
样本均值用 \(\hat{\mu}\) 表示，样本标准差用 \(s\) 表示，总体标准差用 \(\sigma\) 表示。
对于高优指标 (\(\delta < 0\))，统计学假设如下：
\[
\begin{align}
H_0 &: \mu - \mu_0 \leqslant \delta \\
H_1 &: \mu - \mu_0 \gt \delta
\end{align}
\]
对于低优指标 (\(\delta > 0\))，统计学假设如下：
\[
\begin{align}
H_0 &: \mu - \mu_0 \geqslant \delta \\
H_1 &: \mu - \mu_0 \lt \delta
\end{align}
\]
以下推导过程在边界条件 \(\mu - \mu_0 = \delta\) 下进行。
z 检验¶
当总体方差 \(\sigma^2\) 已知时，可使用 \(z\) 检验进行推导。
在 \(H_0\) 成立时，可构建 \(z\) 统计量：
\[
z = \frac{\hat{\mu} - \mu_0 - \delta}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)
\]
在 \(H_1\) 成立时，可构建 \(z'\) 统计量：
\[
z' = \frac{\hat{\mu} - \mu_0 - \delta}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N\left(\frac{\mu - \mu_0 - \delta}{\sigma/\sqrt{n}}, 1\right)
\]
\[
\text{Power}
= P\left(z' > z_{1-\alpha}\right))
= 1 - \Phi\left(z_{1-\alpha} - \frac{\mu - \mu_0 - \delta}{\sigma/\sqrt{n}}\right)
\]
\[
\text{Power}
= P\left(z' < z_{\alpha}\right)
= \Phi\left(z_{\alpha} - \frac{\mu - \mu_0 - \delta}{\sigma/\sqrt{n}}\right)
\]
t 检验¶
当总体方差 \(\sigma^2\) 未知时，可使用 \(t\) 检验进行推导。
在 \(H_0\) 成立时，可构建 \(t\) 统计量：
\[
t = \frac{\hat{\mu} - \mu_0 - \delta}{s/\sqrt{n}} \sim t(n-1)
\]
在 \(H_1\) 成立时，可构建 \(t'\) 统计量：
\[
t' = \frac{\hat{\mu} - \mu_0 - \delta}{s/\sqrt{n}} \sim t\left(n-1, \frac{\mu-\mu_0-\delta}{\sigma/\sqrt{n}}\right)
\]
用 \(T(x;v,\lambda)\) 表示自由度为 \(v\)，非中心参数为 \(\lambda\) 的非中心 \(t\) 分布的累积分布函数。
\[
\text{Power}
= P\left(t' > t_{1-\alpha, n-1}\right)
= 1 - T\left(t_{1-\alpha, n-1}; n-1, \frac{\mu-\mu_0-\delta}{\sigma/\sqrt{n}}\right)
\]
\[
\text{Power}
= P\left(t' < t_{\alpha, n-1}\right)
= T\left(t_{\alpha, n-1}; n-1, \frac{\mu-\mu_0-\delta}{\sigma/\sqrt{n}}\right)
\]
参考文献
- Chow S C, Shao J, Wang H, et al. Sample size calculations in clinical research[M]. chapman and hall/CRC, 2017.